Propriétés

Dans l'algèbre de Boole l’opérateur ET est représentée par le symbole · (multiplication) et la fonction OU par le symbole + (addition). Elles reprennent de manière identique à l'algèbre classique, les mêmes propriétés de priorité, commutativité, associativité et distributivité.

Éléments neutres

La présence d'un élément neutre dans une fonction n'influence pas le résultat final

1 est l'élément neutre de la fonction ET a · 1 = a

0 est l'élément neutre de la fonction OU a + 0 = a

Éléments absorbants

L'élément absorbant de la fonction ET est 0, c'est à dire que la présence d'un seul 0 dans une série de fonctions ET suffit à ce que le résultat soit 0.

A · B · C · D · E = 0 si au moins un seul des éléments est 0

L'élément absorbant de la fonction OU est 1, c'est à dire que la présence d'un seul 1 dans une série de fonctions OU suffit à ce que le résultat soit 1. A ou B ou C ou D ou E = 1 si au moins un seul des éléments est 1

En informatique cela se traduit par un comportement optimisé des programmes qui s'arrêtent d'évaluer une expression dès qu'ils rencontrent une valeur absorbante. Dans notre premier exemple si A est égal à 0 alors le programme ne cherchera pas à évaluer ni B, ni C, ni D, ni E puisque le résultat final est déjà connu.

Priorité

La fonction ET est prioritaire sur la fonction OU comme la multiplication l'est sur l'addition. Soit la formule : a OU b · c avec a et b = 1 et c = 0

• La première opération effectuée prioritairement est b ET c = 1 ET 0 = 0 - La seconde opération est A OU 0 = 1 OU 0 = 1

Le résultat final est 1, si l'on veut prioriser les opérations il faut ajouter des parenthèses comme (A || B) && C

• La première opération effectuée prioritairement est A || B = 1 || 1 = 1 - La seconde opération est 1 && C= 1 && 0 = 0 Le résultat final est cette fois ci 0 a + b · c = a + (b · c)

Commutativité

a · b = b · a
a + b = b + a

Associativité

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

Distributivité

a · (b + c) = (a · b) + (a · c) = a · b + a · c
a + (b · c) = (a + b) · (a + c)

Dans l'algèbre de Boole l’addition est distributive, ce qui n’est pas du tout le cas en arithmétique.

Théorèmes d’Augustus de Morgan

Propriété de la fonction NON-ET :

NON(a · b) = NON(a) + NON(b)

Propriété de la fonction NON-OU :

NON (A + B) = NON(A) · NON(B)

Complémentarité a · NON(a) = 0 a + NON(a) = 1

Involution Fonction par laquelle chaque élément est l'image de son image NON ( NON ( a ) ) = a

Idempotence

La propriété d’idempotence signifie qu'une opération a le même effet appliquée une ou plusieurs fois, ou encore qu'en répétant une fonction plusieurs fois le résultat sera toujours identique à la première itération.

a · a = a · a · a = a · a · a · a = a a + a = a + a + a = a + a + a + a = a

Inclusion

a . b + a . NON B = A
(a + B) . (A + NON B) = A

Démonstration : factoriser A :
A . B + A . B = A . (B + B) = A
(A + B) . (A + B) = A + B . B = A

Théorème d’allégement A . (NON A + B) = A . B A + NON A . B = A +B

Démonstration : utiliser la distributivité (du ET et du OU) : A . (NON A + B) = A . NON A + A . B = A . B A + NON A . B = (A + NON A) . (A + B) = A + B

Théorème d’absorption a . (a + b) = A a + (a . b) =